Tout savoir sur l'usage des identités remarquables
Les identités remarquables sont des expressions de mathématiques dont on se sert en général pour les développements ou les factorisations. Grâce à de telles notions, les calculs se font en peu de temps. Comment se servir des identités remarquables ? Découvrez la réponse à cette question et à temps d’autres à travers cet article.
Comment se présentent les identités remarquables ?
Les identités remarquables sont également appelées les égalités remarquables. Elles désignent des expressions mathématiques constituées de nombres ou de fonctions polynomiales.
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C’est également un moyen de simplifier l’écriture de certaines équations. On peut également se servir des identités remarquables pour une factorisation et le développement d’expression mathématique. En l’occurrence les équations de second degré, afin de trouver les solutions exactes.
Les identités remarquables se présentent sous trois différentes qui sont les suivantes :
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- La première qui est : (a+b)² = a² + 2ab + b² ;
- La deuxième qui est : (a-b)² = a² – 2ab + b² ; (a+b)²;
- La troisième qui est : (a+b) (a-b) = a² – b².
Quelle interprétation peut être faite du ² appelé « carré » ?
En se référant aux règles de la mathématique, on peut dire que le carré (²) désigne la multiplication du nombre par ce même nombre.
Prenons donc en exemple : 4² = 4 x 4 = 16 ;
22² = 22 x 22 = 484 ;
(a + b)² = (a + b) × (a + b).
À l’instar des autres propriétés en mathématiques ou en physiques, les identités remarquables doivent être retenues et connues afin d’en faire usage en cas de besoins ou face à des devoirs.
Les égalités remarquables : comment en faire usage ?
Au cas où vous vous retrouveriez face à des exercices qui impliquent l’utilisation des égalités remarquables, il vous faudra remplacer les expressions littérales par des nombres ou un polynôme. Pour vous permettre de mieux cerner, nous vous soumettons cet exemple.
La première égalité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b²
Si au cours de votre exercice vous vous retrouvez face à une équation comme (3x + 4)² à développer, vous pouvez rapidement appliquer l’égalité remarquable qui est conforme à l’équation :
Ainsi (3x + 4)² = (3x + 4) (3x + 4)
= 3x × 3x + 3x × 4 + 4 × 3x + 4 × 4
= 3ײ + (3x + 4) (3x + 4) + 4²
D’où (3x + 4)²= 9ײ+ 24x + 16.
Cette méthode est non seulement assez pratique, mais rapide par rapport à une autre de calcul. C’est le cas du calcul : 9ײ+ (2 × 3x × 4) + 9 = 9ײ+ 24x + 16.
La deuxième égalité remarquable : (a-b)2 = a² – 2ab + b²
Toujours en se servant de notre équation, mais cette fois appliqué dans la deuxième équation donne : (3x – 4)². Dans ce contexte, le résultat se présente comme tel : 9x²– (2 × 3x × 4) + 16 = 9×2 – 24x + 16.
La troisième égalité remarquable : (a+b) (a-b) = a² – b²
Pour ce qui est de la troisième égalité remarquable, il sera question de remplacer les valeurs de a et de b tout en appliquant la propreté.
Ainsi (3x + 4) (3x – 4) = 3x x 3x – 3x x 4 – 4 x 3x – 4 x 4
= (3x) ² – (3x x4) + (3x x 4) – (4) ²
D’où (3x +4) (3x -4) = 9x² – 16.
Loin de ce que certaines personnes pensent, les égalités remarquables ne sont pas vraiment pénibles. Pour réussir haut les mains ces épreuves, il faudra connaitre les trois identités remarquables ci-dessus notifiées.
À quel moment apprendre les identités remarquables ?
Les identités remarquables font généralement partie du programme des élèves en classe de 5e ou de 4e. Toutefois, dès la classe de 3e, les identités remarquables sont bien approfondies. L’application de cette notion se fait sur plusieurs chapitres.
En 3e, on fait de façon plus accentuée une révision des identités remarquables et du développement. Par la suite, il sera question des notions de factorisation en se référant aux identités remarquables apprises antérieurement. Sans l’acquisition de ces notions du programme de mathématiques, il serait difficile, mieux quasi impossible d’aborder sereinement les classes supérieures.
À titre de rappel, les identités remarquables sont à utiliser seulement si l’équation soumise à votre étude correspond à l’une des trois identités.
Les trois identités remarques constituent l’un des programmes les plus récurrents entre la classe de cinq et de 3e. Son utilisation s’étend même à la classe de terminale et quelques fois en dans la vie active.